มาทำความรู้จัก Vector Space กันดีกว่า

ใน Linear algebra หัวข้อ vector space(เวกเตอร์สเปซ) คือส่วนที่เข้าใจยากสำหรับมือใหม่เริ่มศึกษา(เพราะว่ามันเป็น math จ๋ามากๆเลย) แต่เป็นส่วนที่ทฤษฎีที่สำคัญสำหรับการไปศึกษาต่อเรื่องหลังๆ มากดังนั้นบทความนี้เราจะมาพยายามทำความเข้าใจมันอย่างง่ายๆกัน

☄️ อะไรคือ Vector Space

เวกเตอร์สเปซ เราจะแยกออกเป็นสองคำก่อน space(สเปซ) หมายถึงพื้นที่เสมือนใช้เก็บของบางอย่างที่มีคุณสมบัติร่วมกันบางประการ ในที่นี้เราศึกษาเรื่องเวกเตอร์สเปซ ของที่อยู่ข้างในนี้ก็จะถูกเรียกว่าเวกเตอร์

Vector Space

โดยที่เวกเตอร์นั้นให้มองว่าเป็นอะไรก็ได้ แค่มันมีชื่อว่าเวกเตอร์ เพียงเพราะมันอยู่ภายในเวกเตอร์สเปซ ให้เราลืมเวกเตอร์ที่เราเคยเรียนมาไปก่อน

เวกเตอร์สเปซมีพิเศษอีกอย่างนึงคือ นอกจากพื้นที่เก็บเวกเตอร์แล้ว ยังมี "scala field(ฟีลด์สเกล่า)" พ่วงมาด้วยเสมอ แต่เพื่อความง่ายต่อความเข้าใจ เราไม่ต้องไปสนใจว่าฟีลด์คืออะไรในตอนนี้ ให้มองว่ามันเป็นระบบตัวเลขธรรมดาๆ แบบที่เรารู้จักทั่วไปก่อน

Vector Space

📌 คุณสมบัติต่างๆของ Vector Space

เวกเตอร์สเปซมีได้หลายหน้าตา หลายยี่ห้อ แต่ไม่ว่าไครจะสร้างเวกเตอร์สเปซแบบไหนมาจะต้องอยู่ภายใต้ข้อกำหนดเหล่านี้เสียก่อน

การมีอยู่ของการดำเนินการ "บวก" และ "คูณ"

ตัวเวกเตอร์สเปซจะต้องมี operation(การดำเนินการ) อยู่สองแบบ อย่างแรกเราจะเรียกว่า "การบวก" การบวกนี้จะเป็นการบวกกันระหว่างเวกเตอร์ด้วยกันเองสองตัว ส่งผลลัพธ์ออกมาเป็นเวกเตอร์ตัวใหม่ (หรืออาจจะบวกแล้วได้ตัวก็ได้นะ ไม่ได้ห้ามอะไร)

นอกจากนั้นยังต้องมี "การคูณ" แต่การคูณไม่ได้เกิดขึ้นกับระหว่างเวกเตอร์ แต่เป็นการดำเนินการที่เชื่อมระหว่าง เวกเตอร์กับสเกล่า

Vector Space Operator

การบวกและการคูณในเวกเตอร์สเปซนี้มีหน้าตาได้หลากหลาย เราอาจจะเจอการบวกแบบพิศดาลได้ในเวกเตอร์สเปซแบบแปลกๆ แต่ไม่ว่ายังไงการดำเนินการพวกนี้ก็ยังมีกฎที่ต้องทำตามอยู่ ไม่ใช่สร้างมามั่วๆยังไงก็ได้

สมบัติปิดของการบวกและคูณ

การจะสร้างการบวกและการคูณมาเราจะต้องมั่นใจว่า ผลลัพธ์จากการบวกและคูณนั้นไม่ว่าเราจะเลือกเวกเตอร์คู่ไหน หรือสเกล่าตัวใดมาบวก/คูณ กันก็จะยังอยู่ในเวกเตอร์เสปซเดิมอยู่ ไม่ได้กระเด็นออกไปที่ไหน

Vector Space Operator

เราเรียกคุณสมบัติแบบนี้ว่า สมบัติปิด (closed)

สมบัติของการสลับที่และการเปลี่ยนหมู่

ถ้าเราเคยชินกับการบวกและคูณในระบบจำนวนจริง เราจะนึกได้เลยว่าเราสามารถสลับที่การบวกได้ก็คือไม่ว่าเราจะเอาตัวเลขไหนขึ้นก่อนในการบวก ผลลัพธ์ก็ได้เท่าเดิม

ในหัวข้อนี้จะให้ u v w แทนเวกเตอร์ และ k l แทนค่าสเกล่า

v + u = u + v

นอกจากนั้นถ้าการบวกเกิดขึ้นมากกว่า 1 ในทั้งเดียวเราสามารถคำนวณค่าของคู่ไหนก่อนก็ได้ ก็คือ

v + u + w = (u + v) + w = v + (u + w)

ทั้งสองคุณสมบัตินี้ก็ต้องมีในการบวกเวกเตอร์เช่นกัน

สำหรับการคูณนั้นจะแตกต่างจากระบบจำนวนจริงนิดนึง เพราะมันเป็นการเอาสเกล่าเข้ามาคูณกับเวกเตอร์ ดังนั้นสมบัติที่จะต้องมีจะเป็นลักษณะนี้แทน

k l v = (k l) v = k (l v)

เราจะเรียกว่า การบวกและคูณมีสมบัติการสลับที่(cumulative) และเปลี่ยนหมู่(associativity)

EXAMPLE

ผมจะยกตัวอย่างการสร้างเวกเตอร์สเปซของผมขึ้นมา ผมจะสร้างเวกเตอร์เสปซที่เก็บ "คู่อันดับ" โดยมีการบวกแบบแปลกๆ ที่ผมคิดขึ้นมาเองแบบนี้

(a, b) + (c, d) = (2 a + c, b + d)

การบวกที่ผมตั้งใจสร้างขึ้นมานี้ไม่สามารถใช้ได้ เพราะขัดกับกฎ การสลับที่

ตัวอย่างคือถ้าเราลองดูเวกเตอร์สองตัวในสเปซ (2, 1) และ (3, 0) ถ้าผมจับบวกกันในแบบของผมเองจะได้ผลลัพธ์เป็น (7, 1)

ขณะที่เมื่อผมสลับที่แล้ว (3, 0) + (2, 1) จะได้ผลลัพธ์เป็น (8, 1) ซึ่งมันไม่เท่ากัน

สมบัติการกระจาย/แจกแจง

เมื่อเราเอาสเกล่ามาคูณกับเวกเตอร์ที่บวกกันอยู่ จะมีค่าเท่ากับการที่เอาสเกล่าเข้าไปคูณเวกเตอร์ทีละตัว ดังนี้

k (u + v) = k u + k v

เหมือนในระบบเลขที่เราชินกันเลย แต่ u กับ v เป็นเวกเตอร์เท่านั้น และ k ก็จะต้องเป็นสเกล่า (เพราะการคูณทำได้เฉพาะสเกล่า-เวกเตอร์)

Vector Space Properties

เรามีชื่อเรียกคุณสมบัติแบบนี้ว่า สมบัติการแจกแจง(distributive)

การมีอยู่ของสมาชิกเอกลักษณ์

สมาชิกเอกลักษณ์(identity) คือเวกเตอร์ที่มีพฤติกรรมพิเศษก็คือ "เอาไปบวกกับเวกเตอร์อะไรในสเปซ ก็ได้ผลลัพธ์เป็นเวกเตอร์เดิม" ถ้าในระบบจำนวนจริงก็อารมเลข 0 นั่นแหละ ในเวกเตอร์สเปซของเราจะต้องมีเวกเตอร์ที่มีสมบัตินี้อยู่ และจะต้องมีเพียงตัวเดียวด้วย

Vector Space Identity

EXAMPLE

สมมติว่าผมสร้างเวกเตอร์สเปซขึ้นมาเอง เป็นคู่อันดับเหมือนเดิม (a, b) การบวกของผมกำหนดให้เป็นการบวกแปลกๆ แบบนี้

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d + 1)

สมาชิกเอกลักษณ์ของผมก็จะได้เป็น $(0, - 1)$ เพราะสำหรับทุก a, b ไม่ว่าจะเป็นค่าอะไร

(a, b) + (0, - 1) = (a + 0, b + - 1 + 1) = (a, b)

และ

(0, - 1) + (a, b) = (0 + a, - 1 + b + 1) = (a, b)

เสมอ

ถ้ามีคนบอกว่านี่คือเวกเตอร์สเปซ เราจะหาสมาชิกเอกลักษณ์ในนั้นได้เสมอ และถ้าเราจะสร้างเวกเตอร์สเปซเราก็ต้องทำให้มันมีสมาชิกเอกลักษณ์ด้วย

การมีอยู่ของคู่สมาชิกผกผัน

อันนี้จะต่างจากเอกลัฏษณ์หน่อยตรงที่ เอกลักษณ์คือสมาชิกหนึ่งตัวในเสปซที่มีคุณสมบัติตามที่ว่ามาข้างต้น แต่ว่าสมาชิกผกผันจะไม่ได้เป็นแบบนั้น

สมาชิกผกผัน(inverse) จะอยู่ในรูปของคู่สมาชิกกับเวกเตอร์ที่เราสนใจ เช่นในเสปซเรามีเวกเตอร์ชื่อ $v$ เราจะต้องหาสมาชิกผกผันของมันได้ และเรียกมันว่า $v^{- 1}$ (อ่านว่า อินเวอร์สของ v หรือ ผกผันของ v)

สมาชิกผกผันไม่ใช่เราจะหามาแบบส่งๆยังไงก็ได้ แต่มีกฎอยู่ว่ามันจะเป็นสมาชิกผกผันก็ต่อมือเอาไปบวกกันแล้วได้เอกลักษณ์เช่น สมาชิกผกผันของ $v$ คือ $v^{- 1}$ แล้วเราจะได้ว่า เมื่อมันบวกกันจะได้เป็นเอกลักษณ์เสมอ

v + v^{- 1} = e = v^{- 1} + v

นอกจากนั้นทุกเวกเตอร์ในสเปซเราจะต้องหาคู่ผกผันของมันได้

🖍 ตัวอย่างของเวกเตอร์สเปซ

เราพูดถึงลักษณะของเวกเตอร์สเปซกันมาหมดแล้ว เราจะมาดูตัวอย่างเวกเตอร์สเปซกันบ้าง

เวกเตอร์	การบวก	การคูณสเกล่า	เอกลักษณ์	ผกผันของ v
คู่อันดับ $(a, b)$	การบวกคู่อันดับ $(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$	$k (a, b) = (k a, k b)$	(0,0)	$(a, b)^{- 1} = (- a, - b)$
เมทริกซ์ $[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} \end{matrix}]$	$[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} a_{21} & a_{22} \end{matrix}] + [\begin{matrix} b_{11} & b_{12} b_{21} & b_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} \end{matrix}]$	$k (a, b) = (k a, k b)$	(0,0)	$(a, b)^{- 1} = (- a, - b)$
พหุนาม $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}$	การบวกพหุนาม $a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + b_{0} + b_{1} x + b_{2} x^{2}$	$k (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) = k a_{0} + k a_{1} x + k a_{2} x^{2}$	0	$- 1 (a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2}) = - a_{0} - a_{1} x - a_{2} x^{2}$

🎁 Wrap up 🎁

หากคุณอยากมีเวกเตอร์สเปซเป็นของตัวเอง เริ่มกำหนดดังขั้นตอนนี้

คุณต้องมีเซตเก็บเวกเตอร์ ลองกำหนดเวกเตอร์ขึ้นมาดูนะ
คุณต้องมีเซ็ตเก็บสเกล่า เพื่อความง่ายให้มองเป็นตัวเลขธรรมดาไปก่อน สร้างมาเพื่อเอาไว้คูณกับเวกเตอร์เฉยๆ
สร้างการบวกระหว่างเวกเตอร์ขึ้นมา ให้แน่ใจว่าเมื่อบวกแล้วยังเป็นเวกเตอร์ในเซตที่กำหนดอยู่
สร้างการคูณระหว่างเวกเตอร์กับสเกล่ามา เช่นเดียวกันกับการบวก คูณแล้วยังต้องเป็นเวกเตอร์นะ
การบวกต้องสลับที่ได้ เปลี่ยนหมู่ได้ นอกจากนั้นยังกระจายกับการคูณได้คล้ายๆกับเลขปกติที่เรารู้จักทั่วไป
อย่าลืมสมาชิกเอกลักษณ์ และ คู่สมาชิกผกผัน

ลองสร้างเวกเตอร์สเปซดูนะ

การที่เรารู้ว่าสิ่งนี้เป้นเวกเตอร์สเปซ จะทำให้เรารู้คุณสมชัติต่างๆของมันเพิ่มอีกมากมาย เช่น ความเป็นอิสระ มิติ ค่าไอเกน การแปลง

ดังนั้นมันเลยเป็นโครงสร้างที่สำคัญมากๆ เรียกได้ว่า linear algebra นี่ศึกษาเวกเตอร์สเปซกันเกือบทั้งเรื่องเลยทีเดียว