ปิดสารบัญ
Settings
ตีมสี
normal
dark
ขนาดตัวอักษร
เล็ก
กลาง
ใหญ่

Span

[Span] อ่านว่า "สแปน" หนังสือภาษาไทยมักเรียกว่า "แผ่"

การแผ่เกิดขึ้นจากผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์หนึ่งตัวขึ้นไป โดยเราจะไม่ได้ fix ค่าคงที่เอาไว้แต่มองว่าค่าคงที่ c เป็นตัวเลขอะไรก็ได้ ก่อให้เกิดเวกเตอร์ผลลัพธ์ที่เป็นไปได้มากมาย

ตัวอย่างการแผ่ของเวกเตอร์ 1 ชิ้น

สมมติพิจารณาเวกเตอร์ [32]\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}

จะได้ผลรวมเชิงเส้นอยู่ในรูป x=c[32]\vec{x} = c\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix}

เราจะบอกว่า เวกเตอร์ [32]\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} แผ่ทั่วไปยัง [3c2c]\begin{bmatrix} 3c \\ -2c \end{bmatrix} ทุกค่าคงตัว c ใดๆ

ยกตัวอย่างเช่น [64]\begin{bmatrix} 6 \\ -4 \end{bmatrix} เป็นเวกเตอร์ที่ถูก span(แผ่) ออกมาจาก [32]\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} เพราะ 2[32]=[64]2\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -4 \end{bmatrix}

ตัวอย่างการแผ่ทั่วของเวกเตอร์สองชิ้น

สมมติพิจารณาเวกเตอร์ [32]\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} และ [17]\begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix}

ผลรวมเชิงเส้นของสองเวกเตอร์ดังกล่าวคือ c1[32]+c2[17]=[3c1+1c22c1+7c2]c_1\begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 1 \\ 7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3c_1+1c_2 \\ -2c_1+7c_2 \end{bmatrix}

นั่นคือทุกเวกเตอร์ที่เขียนได้ในรูป [3c1+1c22c1+7c2]\begin{bmatrix} 3c_1+1c_2 \\ -2c_1+7c_2 \end{bmatrix} เมื่อ c1,c2c_1, c_2 เป็นค่าคงตัวใดๆ เป็นเวกเตอร์ที่เกิดจากการแผ่ของสองเวกเตอร์ข้างต้น

นิยาม เซ็ตแผ่ทั่ว

กำหนด Span(v1,v2,...,vn)Span(\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n) คือเซ็ตแผ่ทั่ว (spanning set) ที่เกิดจากเวกเตอร์ v1,v2,...,vn\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n

เซ็ตแผ่ทั่วคือเซ็ตที่บรรจุเวกเตอร์ทั้งหมด ที่สามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้น ของเวกเตอร์ v1,v2,...,vn\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n ได้ นั่นคือ

Span(v1,v2,...,vn)={xx=c1v1+c2v2+...+cnvn}Span(\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n) = \{\vec{x} | \vec{x} = c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n \}

เมื่อ c1,c2,...,cnc_1, c_2, ..., c_n เป็นค่าคงตัวใดๆ

ศัพย์

ถ้า xSpan(v1,v2,...,vn)\vec{x} \in Span(\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n) แล้ว

  • เราจะเรียกว่า x\vec{x} ถูกแผ่ทั่วโดย (spanned) v1,v2,...,vn\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n

  • หรือ v1,v2,...,vn\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n แผ่ (span) ไปยัง x\vec{x}

ถ้าเรามี vector space V ที่ทุกๆ เวกเตอร์ในนั้นสามารถเขียนได้ในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์ v1,v2,...,vn\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n

เราจะกล่าวว่า space V spanned(ถูกแผ่ทั่วโดย) v1,v2,...,vn\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n