ปิดสารบัญ
Settings
ตีมสี
normal
dark
ขนาดตัวอักษร
เล็ก
กลาง
ใหญ่

Linearly independent

ชื่อเรียก [Linearly independent] อ่านว่า "ลิเนียลี อิดิเพนเดนต์" หนังสือภาษาไทยมักจะใช้คำว่า "อิสระเชิงเส้น"

เป็นคุณสมบัติระหว่างเวกเตอร์ในสเปซ เรามักจะถามหรือต้องการรู้ว่าเวกเตอร์สองตัวขึ้นไปที่กำหนดมานั้นอิสระเชิงเส้นกันหรือไม่

นิยาม

สำหรับเวกเตอร์สองตัว v1\vec{v}_1 และ v2\vec{v}_2 เราจะกล่าวว่าเวกเตอร์สองตัวนี้เป็นอิสระเชิงเส้นกันก็ต่อเมื่อ เมื่อพิจารณาผลรวมเชิงเส้นที่เท่ากับศูนย์

c1v1+c2v2=0c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 = 0

แล้วเราจะได้ว่าค่า c1c_1 และ c2c_2 จะต้องเป็นค่า 0 เท่านั้น ไม่สามารถเป็นค่าอื่นได้อีก

รูปแบบทั่วไปสำหรับเวกเตอร์ n ตัว

เราจะกล่าวว่าเวกเตอร์ n ตัว v1,v2,...,vn\vec{v}_1, \vec{v}_2, ..., \vec{v}_n เป็นอิสระเชิงเส้นกันก็ต่อเมื่อพิจารณาผลรวมเชิงเส้นที่มีค่าเป็นศูนย์ ของเวกเตอร์ทั้งหมด

c1v1+c2v2+...+cnvn=0c_1\vec{v}_1 + c_2\vec{v}_2 + ... + c_n\vec{v}_n = 0

แล้วเราจะได้ว่าค่า c1,c2,...,cnc_1, c_2, ..., c_n ทั้งหมดจะต้องเป็นค่า 0 เท่านั้น

ตัวอย่าง

อยากแสดงว่า เวกเตอร์ (3,1)T(3, -1)^T และ (5,7)T(5, 7)^T เป็นอิสระเชิงเส้นกันไหม

จากนิยามเราจะพิจาณาผลรวมเชิงเส้น เพื่อหาว่าค่าคงตัว c ในสมการมีค่าเป็นอะไรได้บ้าง

c1[31]+c2[57]=0c_1\begin{bmatrix} 3 \\ -1 \end{bmatrix} + c_2\begin{bmatrix} 5 \\ 7 \end{bmatrix} = 0

เมื่อคูณเข้าไปจะได้สมการมาสองอัน

3c1+5c2=03c_1 + 5c_2 = 0
1c1+7c2=0-1c_1 + 7c_2 = 0

จะเห็นว่าอยู่ในรูปของระบบสมการเชิงเส้น เราก็จะใช้ gauss elimination ในการแก้

[351700][15/30100]\left[ \begin{matrix} 3 & 5 \\ -1 & 7 \\ \end{matrix} \left| \, \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right. \right] \sim \left[ \begin{matrix} 1 & 5/3 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \left| \, \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \end{matrix} \right. \right]

จะได้สองสมการดังนี้

c2=0c_2 = 0
c1+53c2=0c_1 + \frac{5}{3} c_2 = 0

แทนค่าได้

c1=c2=0c_1 = c_2 = 0

แสดงว่า (3,1)T(3, -1)^T และ (5,7)T(5, 7)^T เป็นอิสระเชิงเส้นกัน