ปิดสารบัญ
Settings
ตีมสี
normal
dark
ขนาดตัวอักษร
เล็ก
กลาง
ใหญ่

Basis

[Basis] อ่านว่า "เบสิส" หนังสือภาษาไทยมักเรียกว่า "ฐาน"

นิยาม

สมมติให้มีเวกเตอร์สเปซ V และในเสปซนั้นมีเวกเตอร์ b1,b2,...,b1=n\vec{b}_1, \vec{b}_2, ..., \vec{b}_1=n ที่ทำให้แผ่ทั่ว(span)ไปยัง V

นั่นคือ ทุกๆเวกเตอร์ใน V จะสามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของเวกเตอร์เหล่านั้นได้

v=c1b1+c2b2+...+cnbn\vec{v} = c_1\vec{b}_1 + c_2\vec{b}_2 + ... + c_n\vec{b}_n

สำหรับค่าคงตัว c1,c2,...,cnc_1, c_2, ..., c_n

ชุดเวกเตอร์ b เหล่านี้จะถูกเรียกว่า "basis(เบสิส)" หรือ"ฐาน" ถ้าเวกเตอร์ทั้งหมดในชุดนั้นเป็นอิสระเชิงเส้นกัน

ตัวอย่าง

กำหนดเวกเตอร์เสปซคือยูคลีเดียนสเปซ หน้าตาเวกเตอร์คือ [ab]\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} เมื่อ a,ba, b เป็นจำนวนจริงใดๆ

เบสิสของสเปซนี้คือ [01]\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} และ [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} เพราะทุกๆสมาชิกในเวกเตอร์สเปซสามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของสองเวกเตอร์นี้ได้เสมอ

[ab]=a[10]+b[01]\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = a \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} + b \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}

เบสิสไม่จำเป็นต้องมีหน้าตาแบบเดียว

เบสิสในเวกเตอร์สเปซนึงสามารถมีได้หลายชุด แต่ยังมีคุณสมบัติคงเดิมคือ

1) ชุดเวกเตอร์นั้นสแปนเสปซ V

2) ชุดเวกเตอร์นั้นอิสระเชิงเส้นกัน

เช่น [11]\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} และ [10]\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} ก็เป็นเบสิสของสเปซข้างต้นเช่นกัน เพราะทุกๆสมาชิกในเวกเตอร์สเปซสามารถเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นของสองเวกเตอร์นี้ได้เสมอ

[ab]=b[11]+(a+b)[10]\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = -b \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + (a+b) \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}